Tugas 2

 

A. PERSAMAAN EKSPONEN

Pengertian :

Persamaan eksponen adalah persamaan yang pangkatnya mengandung variabel dan tidak 

menutup kemungkinan bilangan dasar juga mengandung variabel.

1) Persamaan Eksponen Berbentuk 𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛

Jika 𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛

, dengan 𝑎 > 0 𝑑𝑎𝑛 𝑎 ≠ 1, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑛

2) Persamaan Eksponen Berbentuk 𝑎 

𝑓(𝑥) = 1

Jika 𝑎

𝑓(𝑥) = 1, dengan 𝑎 > 0 𝑑𝑎𝑛 𝑎 ≠ 1, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓(𝑥) = 0

3) Persamaan Eksponen Berbentuk 𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑎

𝑔(𝑥)

Jika 𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑎

𝑔(𝑥)

, dengan dengan 𝑎 > 0 𝑑𝑎𝑛 𝑎 ≠ 1, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)

4) Persamaan Eksponen Berbentuk 𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑏

𝑓(𝑥)

Jika 𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑏

𝑓(𝑥)

, dengan 

𝑎 > 0 𝑑𝑎𝑛 𝑎 ≠ 1, 𝑏 > 0, 𝑑𝑎𝑛 𝑏 ≠ 1, 𝑑𝑎𝑛 𝑎 ≠ 𝑏, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓(𝑥) = 0

5) Persamaan Eksponen Berbentuk {ℎ(𝑥)}

𝑓(𝑥) = {ℎ(𝑥)}

𝑔(𝑥)

Jika: {ℎ(𝑥)}

𝑓(𝑥) = {ℎ(𝑥)}

𝑔(𝑥)

, maka kemungkinannya adalah:

a) ℎ(𝑥) = 0 asalkan 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) keduanya positif (𝑓(𝑥) > 0 𝑑𝑎𝑛 𝑔(𝑥) > 0)

b) ℎ(𝑥) = 1

c) ℎ(𝑥) = −1, asalkan 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) keduanya ganjil atau keduanya genap 

((−1)

𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥) = 1)

d) 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) asalkan ℎ(𝑥) ≠ 0 𝑑𝑎𝑛 ℎ(𝑥) ≠ 1

6) Persamaan Eksponen Berbentuk {ℎ(𝑥)}

𝑓(𝑥0 = 1

Jika {ℎ(𝑥)}

𝑓(𝑥0 = 1, maka kemungkinannya adalah:

a) 𝑓(𝑥) = 0 , ℎ(𝑥) ≠ 0

b) ℎ(𝑥) = 1

c) ℎ(𝑥) = 1, 𝑓(𝑥) = ± 𝑝𝑞

Dengan p dan q adalah bilangan asli yang tidak dapat saling membagi ( tidak 

mempunyai faktor persekutuan), dan p adalah bilangan genap.

Rumus-Rumus Penting Persamaan Eksponen

1. Jika af(x) = 1, maka f(x) = 0

2. Jika af(x) = ap, maka f(x) = p

3. Jika af(x) = ag(x), maka f(x) = g(x)

4. Jika af(x) + ag(x) = c,

persamaan bisa dirubah menjadi persamaan kuadrat.

5. Jika f(x)g(x) = f(x)h(x), maka:

Solusi (I): g(x) = h(x)

Solusi (II): f(x) = 1

Solusi (III): f(x) = -1, asalkan g(x) dan h(x) sama-sama genap

atau sama-sama ganjil. Harus dichek lebih dahulu.

Solusi (IV): f(x) = 0, asalkan g(x) > 0 dan h(x) > 0.

Harus dichek lebih dahulu.

6. Jika f(x)g(x) = h(x)g(x), maka:

Solusi (I): f(x) = h(x).

Solusi (II): g(x) = 0, asalkan f(x) ≠ 0 dan h(x) ≠ 0.

Harus dichek lebih dahulu.

7. Jika f(x)g(x) = 1, maka:

Solusi (I): f(x) = 1.

Solusi (II): f(x) = -1, asalkan g(x) genap.

Solusi (III): g(x) = 0, asalkan f(x) ≠ 0.

Contoh soal :

1. Nilai x yang memenuhi persamaan:

  2x²−5x−6=1 adalah . . . .

B. PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN

Pengertian :

Pertidaksamaan eksponen adalah pertidaksamaan yang eksponennya mengandung variabel.

Teorema:

1. Jika 𝑎 > 1 𝑑𝑎𝑛 𝑎

𝑓(𝑥) ≥ 𝑎

𝑔(𝑥)

, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥)

2. Jika 𝑎 > 1 𝑑𝑎𝑛 𝑎

𝑓(𝑥) ≤ 𝑎

𝑔(𝑥)

, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥)

3. Jika 0 < 𝑎 < 1 𝑑𝑎𝑛 𝑎

𝑓(𝑥) ≥ 𝑎

𝑔(𝑥)

, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥)

4. Jika 0 < 𝑎 < 1 𝑑𝑎𝑛 𝑎

𝑓(𝑥) ≤ 𝑎

𝑔(𝑥)

, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥)

Pertidaksamaan eksponen berbentuk 𝐴{𝑎

𝑓(𝑥)}

2 + 𝐵{𝑎𝑓 (𝑥)} +C < 0 (tanda ketidaksamaan 

“<” dapat di ganti dengan”≤ ,>, 𝑎𝑡𝑎𝑢 " ≥ ", diselesaikan sebagai berikut:

Misalkan 𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑦, maka pertidaksamaan semula ekuivalen dengan pertidaksamaan 

𝐴𝑦2 + 𝐵𝑦 + 𝐶 < 0

Rumus-Rumus Penting Pertidaksamaan Eksponen

A. Untuk 0<a<1, jika:

   1.af(x)<ag(x)→f(x)>g(x)

   2.af(x)≤ag(x)→f(x)≥g(x)

   3.af(x)>ag(x)→f(x)<g(x)

   4.af(x)≥ag(x)→f(x)≤g(x)

B. Untuk a>1, jika:

   1.af(x)<ag(x)→f(x)<g(x)

   2.af(x)≤ag(x)→f(x)≤g(x)

   3.af(x)>ag(x)→f(x)>g(x)

   4.af(x)≥ag(x)→f(x)≥g(x)

a adalah bilangan pokok.

Contoh soal:

Penyelesaian: